1樓:科技數碼答疑
令t^2=x,則2tdt=dx
原式=t/(1+t^4)*2tdt=2t^2/(1+t^4)dt
然後對t^4+1進行因式分解,t^4+1=(t^2+√2t+1)(t^2-√2t+1),然後進行多項式分解
求不定積分∫x/√(1+x+x^2)dx
2樓:匿名使用者
||x^2+x+1 = (x+1/2)^2+ 3/4
letx+1/2 = (√
3/2)tanu
dx =(√3/2)(secu)^2 du
∫x/√(1+x+x^2)dx
=(1/2)∫(2x+1)/√(1+x+x^2)dx -(1/2)∫dx/√(1+x+x^2)
=√(1+x+x^2) -(1/2)∫dx/√(1+x+x^2)
=√(1+x+x^2) -(1/2)∫ secu du
=√(1+x+x^2) -(1/2)ln|secu + tanu| + c'
=√(1+x+x^2) -(1/2)ln|(2/√3)√(1+x+x^2) + (2x+1)/√3 | + c'
=√(1+x+x^2) -(1/2)ln|2√(1+x+x^2) + (2x+1)| + c
求不定積分∫x/√(1+x-x^2)dx
3樓:等待楓葉
|不定積分∫x/(x^2-x-2 )dx的結果為2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+c。
解:因為x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1)),
令x/((x-2)*(x+1))=a/(x-2)+b/(x+1)=(ax+a+bx-2b)/((x-2)*(x+1)),
可得a=2/3,b=1/3。那麼,
∫x/(x^2-x-2)dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx
=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+c
擴充套件資料:
1、因式分解的方法
(1)十字相乘法
對於x^2+px+q型多項式,若q可分解因數為q=a*b,且有a+b=p,那麼可應用十字相乘法對多項式x^2+px+q進行因式分解。
x^2+px+q=(x+a)*(x+b)
(2)公式法
平方差公式,a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。
完全平方和公式,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
完全平方差公式,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2、不定積分湊微分法
通過湊微分,最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。
例:∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+c
直接利用積分公式求出不定積分。
3、不定積分公式
∫mdx=mx+c、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cscxdx=-cotx+c
4樓:寂寞的楓葉
^∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定積分為1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c
解:∫x/(x^2-2ax+1)dx
=1/2*∫(2x-2a+2a)/(x^2-2ax+1)dx
=1/2*∫(2x-2a)/(x^2-2ax+1)dx+∫a/(x^2-2ax+1)dx
=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+∫a/(x^2-2ax+1)dx
=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a*∫1/((x-a)^2+1-a^2)dx
=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx
=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx
令(x-a)/√(1-a^2)=tant,則x=√(1-a^2)*tant+a,那麼
∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx
=∫1/(sect)^2d(√(1-a^2)*tant+a)
=√(1-a^2)*∫(sect)^2/(sect)^2dt
=√(1-a^2)*∫1dt
=√(1-a^2)*t+c
又(x-a)/√(1-a^2)=tant,則t=arctan((x-a)/√(1-a^2)),則
∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx
=√(1-a^2)*t+c
=√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c
所以∫x/(x^2-2ax+1)dx
=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx
=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c
即∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定積分為:
1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan((x-a)/√(1-a^2))+c
擴充套件資料:
1、不定積分的公式型別
(1)含ax^2±b的不定積分
∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+c
(2)含a+bx的不定積分
∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+c、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+c
(3)含x^2±a^2的不定積分
∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+c、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+c
2、不定積分的求解方法
(1)換元積分法
例:∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2*e^(2x)+c
(2)積分公式法
例:∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+c、∫cosxdx=sinx+c
(3)分部積分法
例:∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=(x-1)*e^x
3、常用的積分公式
∫(secx)^2dx=tanx+c、∫1/(x^2+x+1)d(x^2+x+1)=ln|x^2+x+1|+c、積分5dx=5x+c
5樓:我的我451我
被積函式是分數形式一般要拆分,怎麼拆必須公式要熟。
∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+c c為常數
拆分規則:在有意義的情況下,是任何乙個賦值都會滿足的。
因為本身有理式的拆分就是乙個恒等式求解的過程,也就是設a(x)=a(x),那麼你無論給左右兩邊取什麼值,只要這個值在a(x)的定義域內,該等式一定成立的。
而且如果不採用賦值法的話,就直接進行同分,最後我們用到的定理叫做多項式恒等定理,效果是一樣的。
6樓:匿名使用者
顯然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]=1 -1- x= -x
於是得到∫x/[1+√(1+x)]dx
=∫ -1+ √(1+x) dx
代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)原積分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +c,c為常數
7樓:匿名使用者
|令x=tant, 則dx=sec2tdt
∫dx/[x√(1+x2)]
=∫sec2t/(tantsect) dt
=∫sect/tant dt
=∫1/sint dt
=∫csct dx
=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt
=∫(csc2t-csctcott)/(csct-cott)dx
=∫d(csct-cott)/(csct-cott)
=ln|csct-cott|+c
=ln|[√(1+x2)-1]/x|+c
=ln[√(1+x2)-1]-ln|x|+c
c為任意常數
**********==
你的答案和我的答案其實是一樣的
-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+c
=(1/2) ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+c.......利用對數性質,把負號消掉
=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+c
=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)2/x2|+c.......對數真數分母有理化,分子分母同時乘以1-(1+x^2)^1/2
=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+c.......利用對數性質,把1/2化進真數
=ln[√(1+x2)-1]-ln|x| +c .......對數運算性質
8樓:匿名使用者
^1+x-x^2 = 5/4-(x-1/2)^2letx-1/2 = (√
5/2)sinu
dx =(√5/2)cosu du
∫x/√(1+x-x^2)dx
=-(1/2)∫(1-2x)/√(1+x-x^2)dx +(1/2)∫dx/√(1+x-x^2)
=-(1/2)√(1+x-x^2) +(1/2)∫dx/√(1+x-x^2)
=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)∫ du=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)u + c=-(1/2)√(1+x-x^2) +(√5/5)arcsin[(2x-1)/√5] +c
9樓:裘珍
^解:令:t^2=1+x^2, x=√(t^2-1) dx=tdt/√(t^2-1);
原式=∫dt=∫[(t-1)/t]dt=∫(1-1/t)dt=t-ln|t|+c=√(1+x^2)-(1/2)ln(1+x^2)+c。
10樓:匿名使用者
因為被積函式是偶函式,所以最後得到的原函式必定是奇函式。根據對稱性,這裡首先考慮x>0時的情況。
根據三角函式的基本關係,設x=csc u=1/sin u,因為x>1,所以令u∈(0,π/2)。
那麼dx=-cos udu/sin2 u,
sqrt(x^2-1)=sqrt(1/sin2 u-1)=cot u=1/tan u,
所以原來的積分=∫1/tan u*(-cos u/sin2 u)du=-∫cos u/(tan u*sin2 u)du
=-∫cos2u/sin3u du
接下來的部分見下圖:
設t=cos u,那麼t=sqrt(1-sin2u)=sqrt(1-1/x2)=sqrt(x2-1)/x。
因為所以原來的積分為
把t=sqrt(x2-1)/x代入得到
這是x>0時候的情況。
當x<0時,-x>0,因此
原函式在-x處的函式值為
根據奇函式的特點,可知當x<0時的函式值為
不定積分1x2a2dx詳細推導過程
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不定積分 x x 2 x 2 dx的結果為2 3 ln x 2 1 3ln x 1 c。解 因為x x 2 x 2 x x 2 x 1 令x x 2 x 1 a x 2 b x 1 ax a bx 2b x 2 x 1 可得a 2 3，b 1 3。那麼，x x 2 x 2 dx x x 2 x 1 ...