1樓：匿名使用者
假設根號5=a/b .其中(a,b)=1，且a與b都是正整數.則a平方=b平方乘以5.易見b>1，否則b=1，，則根號5=a是乙個整數，為假。
a平方等於5*b平方。改寫成b平方等於(a/5)*a.因為b>1，因此b有素因子p，因此p整除a/5 或a，總之，p整除a，因此p同時整除a與b，這與(a,b)=1矛盾.
2樓：紫色學習
假設 根號5是有理數,
設 根號5=p/q,
其中,p,q是正的自然數且互質.
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除,得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣 q^2也能被5整除,q也能被5整除
因此p與q有公因子5.
這與p,q互質相矛盾
從而 證明了根號5為無理數.
3樓：我擦泥枚
^若√5是有理數
則√5=a/b（ab互質，且ab為正整數）那麼5=a^2/b^2
5b^2=a^2
所以a^2能被5整除
所以a是5的倍數
設a=5x
則5b^2=(5x)^2
5b^2=25x^2
b^2=5x^2
顯然b也是五的倍數
與ab互質矛盾
所以根號5是無理數
如何用算術基本定理證明根號10是無理數
4樓：匿名使用者
設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2
可見n^2是10的倍
數按原理n是10的倍數
設n=10k
代入得m^2=10k^2
可見m^2是10的倍數
按原理m是10的倍數
但這與m,n互質矛盾
所以√10不是有理數
5樓：匿名使用者
先 設 根號10=p/q, p ,q互 為 質數 ，然 後 用 反 證 法 ， 具 體 參 見 下 面 這 個 鏈 接 裡 的 反 證 法 ：
6樓：匿名使用者
我同意這種證明方法：
設√10為有理數，不妨設√10=n/m(n,m之間互質)則n^2=10m^2可見n^2是10的倍數按原理n是10的倍數
設n=10k
代入得m^2=10k^2
可見m^2是10的倍數
按原理m是10的倍數
但這與m,n互質矛盾
所以√10不是有理數
求證：根號5是無理數
7樓：暴走少女
證明：√5是無理數。
設√5不是無理數而是有理數，則設√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1。
兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)p^2含有因數5，設p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2q^2含有因數5，即q有因數5，這樣p,q有公因數5。
這與假設p,q最大公約數為1矛盾， √5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，
所以√5不是有理數而是無理數。
8樓：匿名使用者
證明：可以用『反證法』來證明：
假設√5是有理數，那麼它一定可以用乙個最簡的既約分數a/b表示，√5=a/b
兩邊同時平方，得
5=a^2/b^2
得：a^2=5b^2，
由此可見，a是5的倍數，於是設a=5k，則有(5k)^2=5b^2
25k^2=5b^2
得：b^2=5k^2，
也就是說b也是5的倍數，
綜上，a、b都是5的倍數，那麼a/b就不是最簡分數了，與假設矛盾，因此，根號5不是有理數，必定是無理數。
9樓：富畫終琛
假設根號5是有理數，
設根號5=p/q,
其中，p,q是正的自然數且互質。
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除，得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p與q有公因子5。
這與p,q互質相矛盾
從而證明了根號5為無理數。
如何用整數的唯一分解定理證明根號10是無理數
10樓：ok嬤嬤嬤哦
反證法： 設p=5*n(n是正的自然數) 則5q^2=p^2=25n^2 這樣q^2也能被5整除，q也能被5整除 因此p與q有公因子5。 這與p,q互質相矛盾 從而 證明了根號5為無理數。
請證明：根號三是無理數
11樓：風之鷂
^^1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數
2、設x=根號3,則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾
拓展資料：
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。2023年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為「無理」的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
12樓：匿名使用者
^證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q於是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
13樓：雄鷹
分析：①有理數的概念：
「有限小數」和「無限迴圈小數」統稱為有理數。
整數和分數也統稱為有理數。
所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。
②無理數的概念：無限不迴圈小數，可引申為「開方開不盡的數」。
③反證法的要領是假設乙個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。
解：假設(√3)是有理數，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整數。
∵整數和分數也統稱為有理數，而(√3)不是整數
∴在假設「(√3)是有理數」的前提下，(√3)只能是乙個分子分母不能約分的分數。
此時假設 (√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)
兩邊平方，得：
m² / n² = 3
∴m² 是質數3的倍數
我們知道，如果兩個數的乘積是3的倍數，那麼這兩個數當中至少有乙個數必是3的倍數。
∴由「m² (m與m的乘積) 是質數3的倍數」得：正整數m是3的倍數。
此時不妨設 m = 3k(k為正整數)
把「m = 3k」 代入「m² / n² = 3」 ，得：
(9k²) / n² = 3
∴3k² = n²
即：n² / k² = 3
對比「m² / n² = 3「 同理可證
正整數n也是3的倍數
∴正整數m和n均為3的倍數
這與「m、n均為正整數且互質」相矛盾。
意即由原假設出發推出了乙個與原假設相矛盾的結論，
∴原假設「(√3) = m/n(m、n均為正整數且互質，二者不能再約分，即二者除1外再無公因數)」是不成立的。
∴(√3) 不能是乙個分子分母不能約分的分數
而已證(√3) 不是整數
∴(√3) 既 不是整數也不是分數，即(√3) 不是有理數。
∴(√3) 是無理數。
14樓：遲沛山告琳
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
15樓：樸卉吾嘉懿
^反證：假設根號3是有理數，則存在兩個互質整數m和n使得根號3=m/n.兩邊平方並整理得m^2=3n^2,
於是m是3的倍數，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍數，這與m,n互質矛盾。故根號3是無理數。證畢。
證明根號6 無理數
16樓：我是石崇的
假設√6不是無理數，而是有理數。
既然√6是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√6=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。
把 √6=p/q 兩邊平方
得出6q^2=p^2
由於6q^2必定為偶數，故p為偶數
設p=2m,代入得出6q^2=4m^2即3q^2=2m^2由於2m^2必定為偶數，故3q^2也為偶數即q^2為偶數，得出q也為偶數
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√6是有理數引起的。
因此√6是無理數。
17樓：匿名使用者
如圖,「a|b」表示a整除b
這裡可能需要補充乙個定理：若正整數a,b,c滿足a,b互質，且a|bc,那麼a|c
定理的證明很簡單，這裡就不詳細列出了，一般有關書上都有事實上，用這種方法可以證明根號n(n是正整數）不是整數就是無理數。
18樓：匿名使用者
假定有理，則sqrt(6)=a/b, b不為零且a與b互質。
==> 6bb=aa
左邊是偶數==> 右邊=aa也是偶數，==> a是偶數，設a=2d，那麼
6bb=4dd ==> 3bb=2dd,其右邊是偶數，故b也是偶數，而這與a、b互質相矛盾，故原先的有理假設不成立，即sqrt(6)為無理數。
19樓：匿名使用者
假設根號6是有理數，則根號6=a/b，a,b均為整數，b不等於0；
6=a*a /(b*b), a*a-6*b*b=0, ...哎呀後面的忘了
怎麼證明乙個數是無理數？
20樓：暴走少女
例子：證明根號2是無理數：
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數
因為 m、n互質
所以矛盾，即根號2不是有理數，它是無理數。
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