1樓：drar_迪麗熱巴
因為lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其為a
則根據極限定義，對ε=1，存在正數d>0，使對任意x>d，有|f(x)-a|<1
即a-1若da，有a-1若d>=a，因為f(x)在[a,d]上連續，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
綜上所述，f(x)在[a,+∞)上有界
若存在兩個常數m和m，使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界，其中m是它的下界，m是它的上界。
關於函式的有界性．應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別乙個函式是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。
但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
2樓：普海的故事
設limf﹙x﹚＝a ﹙x趨於無窮大﹚
∴任意ε 存在x＞a 當x＞x時 ｜f﹙x﹚－a｜＜ε/4 ∴對任意x₁、x₂∈﹙x,﹢∞﹚ 有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－a｜＋｜f﹙x₂﹚－a｜＜ε/2
由康託定理 f﹙x﹚在[a,x]一致連續 因而存在δ＜x－a 使｜x₁－x₂｜＜δ,x₁,x₂∈[a,x]時 ｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2
從而對任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ 就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε
∴其一致連續
設函式f(x)在區間[a,+∞）上連續，有lim(x→+∞)f(x)存在且有限。證明：f（x）在[a,+∞）上有界
3樓：
因為bailim(x→+∞)f(x)存在且有限，du設為c
根據定義，任zhi意ε
dao>0，存在x>a，當x>x，有|f(x)-c|<ε不妨取ε=1
即有回，c-1答[a,+∞)上連續
那麼，對上述x>a，有f(x)在區間[a,x]上連續因此，由最值定理得：f(x)在[a,x]上必有最大值f(x)max和最小值f(x)min
即有：f(x)min≤f(x)≤f(x)max，x∈[a,x]那麼，取：
max=max
min=min
於是，有：
min≤f(x)≤max，x∈[a,+∞)因此f(x)有界
有不懂歡迎追問
設函式f(x)在區間[a,+∞）上連續，有lim(x→+∞)f(x)存在且有限，則f（x）在[a,+∞）上____ a有界 b無界
4樓：符離
有界的意思並不是非得有上界有下界:如果這個函式在趨於正無窮有上屆就稱他有界，如果趨於負無窮有下界也叫有界
5樓：茹翊神諭者
詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
設函式f（x）在區間[a，＋∞）上連續，並且極限limx→∞f（x）存在且有限，證明f（x）？
6樓：豌豆凹凸秀
因為lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其為a
則根據極限定義，對ε=1，存在正數d>0，使對任意x>d，有|f(x)-a|<1
即a-1若da，有a-1若d>=a，因為f(x)在[a,d]上連續，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
綜上所述，f(x)在[a,+∞)上有界
若存在兩個常數m和m，使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界，其中m是它的下界，m是它的上界。
關於函式的有界性．應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別乙個函式是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。
但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
上具有連續導數,且f0f10,證明fxdx12fxdx
先用分部積分得到 f x dx x 1 2 f x dx 然後 x 1 2 f x dx x 1 2 f x dx 1 2 f x dx 設f x 在 0,1 上具有連續導數,且f 0 0.證明 利用定積分的柯西 許瓦茨不等式 可得 f 1 小於等於右邊的定積分 不等式恆成立 則,f x 的最大值小...
設f x 在區間上連續，且f x 0,證明f x 在上的導數乘1上的導數b a 的平方
你的題錯了，不是導數，是積分吧？給你乙個二重積分的做法，如果沒學過二重積分，請追問，我再給你乙個定積分做法。左邊 a b f x dx a b 1 f x dx 定積分可隨便換積分變數 a b f x dx a b 1 f y dy d f x f y dxdy 其中 d為a x b，a y b 該...
設函式f x 在區間上連續,證明至少存在一點屬於 0,1 使得f
這個題用積分中值定理比較困難,不妨換個角度用微分中值定理.如果設內f x 0,x f t dt,則所證式可變為 1 f f 是一容道比較常見的微分中值定理的題目.由此觀察,我們給出證明如下.設g x x 1 0,x f t dt,則g x 在 0,1 連續,在 0,1 可導,並有g 0 g 1 0....