1樓：仲雲水
最上面兩個式子直接設y=q(x)·exp(-sinx)和y=q(x)·exp(cosx)，其中q(x)為待定函式，代入後就可以消去e的指數函式項按照一般的一階微分方程求解了。——這是解帶指數函式一階方程常用的辦法。
第二行左側的式子同樣可以設y=exp[q(x)]，那麼dy=q`(x)·exp[q(x)]dx，這樣原式可以變成：q+(x-q)q`=0，同上理可解。
第二行右側的式子用代換y=x³q(x)，那麼dy/dx=3x²q+x³q`，代入原式變成：3x²q+x³q`+(2-3x²)q=1，剩下的式子很簡單就留給lz自己算了。
最後一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²)，兩側取倒數得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2)，注意觀察右側含有x/y，利用齊次方程的解法令x=uy（注意自變數和函式），那麼整理得到：
u`-2(u/y)=-1/2；顯然再利用齊次方程的解法，令u=vy，得到：v`y-v=-1/2，再分離變數得到：dv/(v-0.
5)=dy/y，解得：ln(v-0.5)=y+c，最後把x回代得到：
ln[(x/y²)-0.5]=y+c，兩邊取指數函式得到標準形式：x/y²-(1/2)=dexp(y)，d=expc為任意常數。
2樓：年昆銳仝霽
（1）y'+ycosx=e^(-sinx)解：∵y'+ycosx=e^(-sinx)==>dy+ycosxdx=e^(-sinx)dx==>e^(sinx)dy+ycosxe^(sinx)dx=dx(等式兩端同乘e^(sinx))
==>d(ye^(sinx))=dx
==>ye^(sinx)=x+c
(c是常數)
==>y=(x+c)e^(-sinx)
∴原方程的通解是y=(x+c)e^(-sinx)。
（2）dy/dx+ycotx=5e^(cosx)解：∵dy/dx+ycotx=5e^(cosx)==>dy+ycotxdx=5e^(cosx)dx==>sinxdy+ycosxdx=5e^(cosx)sinxdx(等式兩端同乘sinx)
==>d(ysinx)=-5d(e^(cosx))==>ysinx=c-5e^(cosx)
(c是常數)
==>y=(c-5e^(cosx))cscx∴原方程的通解是y=(c-5e^(cosx))/sinx。
（3）ylnydx+(x-lny)dy=0解：∵ylnydx+(x-lny)dy=0==>ylnydx+xdy=lnydy
==>lnydx+xdy/y=lnydy/y(等式兩端同除y)
==>d(xlny)=d((lny)^2/2)==>xlny=(lny)^2/2+c
(c是常數)
==>x=lny/2+c/lny
∴原方程的通解是x=lny/2+c/lny。
（4）dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1解：∵dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1==>x^3dy+(2-3x^2)ydx=x^3dx==>e^(-1/x^2)dy/x^3+(2/x^6-3/x^4)ye^(-1/x^2)dx=e^(-1/x^2)dx/x^3
(等式兩端同乘e^(-1/x^2)/x^6)==>d(e^(-1/x^2)y/x^3)=d(e^(-1/x^2)/2)
==>e^(-1/x^2)y/x^3=e^(-1/x^2)/2+c(c是常數)
==>y=(1/2+ce^(1/x^2))x^3∴原方程的通解是y=(1/2+ce^(1/x^2))x^3。
（5）(y^2-6x)dy/dx+2y=0解：∵(y^2-6x)dy/dx+2y=0==>y^2dy-6xdy+2ydx=0
==>dy/y^2-6xdy/y^4+2dx/y^3=0(等式兩端同除y^4)
==>-d(1/y)+2d(x/y^3)=0==>-1/y+2x/y^3=2c
(c是常數)
==>x=cy^3+y^2/2
∴原方程的通解是x=cy^3+y^2/2。
3樓：亢馳翰濮茗
方程dy/dx+p(x)y=q(x)
叫做一階線性微分方程(因為它對於未知函式及其導數均為一次的)。
如果q(x)恆等於0
，則方程稱為齊次的；
如果q(x)不恆等於零，則方程稱為非齊次的。、例如(1+x^2)dy=(x+y)dx
dy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)
dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)p(x)=-1/（1+x^2)
q(x)=x/(1+x^2)不恆等於0
所以是一階線性非齊次方程
一階線性微分方程求通解問題
4樓：東方欲曉
1) y'+p(x)y = 0的通解加上 y'+p(x)y = q(x)的特解等於 y'+p(x)y = q(x)的通解。
2) 思路沒有錯，過程超複雜。
一階線性微分方程通解公式怎麼巧記？
5樓：茹翊神諭者
先把對p（x）的積分就出來
然後把它代入方框即可
詳情如圖所示，有任何疑惑，歡迎追問
6樓：鬼話狐
一階線性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)的通解公式應用「常數變易法」求解.
∵由齊次方程dy/dx+p(x)y=0
==>dy/dx=-p(x)y
==>dy/y=-p(x)dx
==>ln│y│=-∫p(x)dx+ln│c│ (c是積分常數)
==>y=ce^(-∫p(x)dx)
∴此齊次方程的通解是y=ce^(-∫p(x)dx)
於是,根據常數變易法,設一階線性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)的解為
y=c(x)e^(-∫p(x)dx) (c(x)是關於x的函式)
代入dy/dx+p(x)y=q(x),化簡整理得
c'(x)e^(-∫p(x)dx)=q(x)
==>c'(x)=q(x)e^(∫p(x)dx)
==>c(x)=∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+c (c是積分常數)
==>y=c(x)e^(-∫p(x)dx)=[∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+c]e^(-∫p(x)dx)
故一階線性微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)的通解公式是
y=[∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+c]e^(-∫p(x)dx) (c是積分常數).
一階線性微分方程通解公式的問題
7樓：假面
舉例說明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3解：∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dxd[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² c (c是積分常數)y=(x-2)³ c(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ c(x-2)(c是積分常數)。
8樓：良田圍
1、樓主問的問題是涉及積分因子的問題，而求積分因子的目的是在尋求全微分；
2、也就是說，在微分方程的左側乘以乙個積分因子，就使得左側變成全微分形式。
3、如果在積分中加入積分因子，結果只是等於在積分因子前，乘上了乙個e^c的常
數，這個常數對全微分沒有絲毫貢獻，也沒有絲毫影響。所以，通常就省去了。
4、左側乘上積分因子後，右側同樣乘以積分因子，因為左側的導函式、原函式都
一次性地解決了，方程的右側變成了乙個單純的積分問題，不再涉及導函式與原
函式的糾纏。
如有不明白之處，歡迎追問。
9樓：洛朗君
[高數]變限積分求導易錯點
10樓：
是一樣的.設加上常數a,實際上就是e^a.它與括號裡面的任意常數c的乘積可合併為新的常數d.
與括號裡的第二項的乘積就約掉了(注意你代入∫e^(p(x)dx進入後面積分時,有個e^(-a)同樣要代入)
一階線性微分方程通解公式考研能直接用嗎
11樓：
一階線性微分方程通解公式是高數(同濟版)上有的，高數考研就是參考這本書，可以直接用的……
一階線性微分方程dxdyxy怎麼解
最下面那個式子兩邊積分不就可以得出u關於x的函式了麼,然後把u x y帶進去不就解決了?還有什麼問題記得追問 一階線性微分方程dy dx p x y q x 的通解公式怎麼理解?一階線性微分方程dy dx p x y q x 的通解公式應用 常數變易法 求解。由齊次方程dy dx p x y 0,d...
求一階微分方程 x y 3 dy ydx的通解
dy dx y x y 3 dx dy x y y 2，令x y u，則dx udy ydu，dx dy u ydu dy dx dy u ydu dy u y 2，du dy yu 1 2y 2 c，x y 1 2y 2 c，x 1 2y 3 cy x dx dy xy x du2y 3，同除以x...
求解高數微分方程 一階 ，高數解一階線性微分方程
7 y 2xy x 2 y 2 2 y x 1 y x 2 令u y x，則y xu，y u xu u xu 2u 1 u 2 xu u u 3 1 u 2 1 u 2 u u 3 du dx x 1 u 1 1 u 1 1 u du dx xln u ln 1 u ln 1 u ln x cu 1...