1樓:匿名使用者
證明:令:復∀x,y∈c [a,b],且制x≤y,則:
x-y≤bai0
∵f(x)是單調遞增du函式
f(x)-f(y)≤0
∴(x-y)[f(x)-f(y)]≥0
∴∫∫(σzhi) (x-y)[f(x)-f(y)]dσ≤0,其中dao:σ=
因此:∫∫(σ) (x-y)[f(x)-f(y)]dσ
=∫(a,b) xf(x)dx∫(a,b) dy-∫(a,b) xdx∫(a,b) f(y)dy-∫(a,b) ydy∫(a,b) f(x)dx +
∫(a,b) dx∫(a,b) yf(y)dy
=(b-a)∫(a,b) xf(x)dx -[(b2-a2)/2]·∫(a,b) f(y)dy-[(b2-a2)/2]·∫(a,b) f(x)dx+
(b-a)∫(a,b) yf(x)dy
=2(b-a)∫(a,b) xf(x)dx - (b2-a2)∫(a,b) f(x)dx
≥0又 b-a>0
∴2∫(a,b) xf(x)dx ≥(a+b)∫(a,b) f(x)dx
(a+b)∫(a,b) f(x)dx ≤ 2∫(a,b) xf(x)dx
二重積分證明題
2樓:匿名使用者
4、先交換積分次序
再利用變上限積分求導湊微分
解出二重積分,得到等式成立
詳解如下:
3樓:昔絹希通
1)由於x^2+y^2對於x,y是偶函式,因此可將兩者的積分區域都擴充套件到全平面,此時新得到的兩個積分分別是原來的四倍。(這一步沒有也沒關係,在第一象限可一樣考慮)
2)此時第乙個積分的積分區域是乙個邊長為2a,面積為4a^2的正方形,第二個積分的積分區域是面積為4a^2的圓。積分區域面積相等。因此只需要比較被積函式的大小
3)做圖知(我上圖不容易,你自己畫一下就知道了),兩個積分區域的差別,除去公共部分,第乙個積分區域多出來的部分都有x^2+y^2>=4a2/π,而第二個積分多出來的區域則有(x2+y2)≤(4a2/π)。由於被積函式就是e^(x^2+y^2),因此第乙個積分大於第2個積分。
(至於你題中的等號,只有a=0才可能取到)
4樓:聖菊黃芊芊
根據定義證明
σ[kf(ξi,ηi)△σ(i)]
=kς[f(ξi,ηi)△σ(i)],
s(n)=ks(n)
lims(n)=lim
[ks(n)]=k
lims(n)
這就得到了:
函式kf(x,y)在d也可積,且
∫∫kf(x,y)dσ=k
∫∫f(x,y)dσ
證明題關於二重積分的,**等
5樓:匿名使用者
^柯西不等式,
∫(a->b)[f(x)]^2dx ∫(a->b)[g(x)]^2dx >= [∫(a->b) f(x)g(x)dx]^2
所以∫(a->b) f(x)dx ∫(a->b)[1/f(x)]dx >= [∫(a->b) √f(x)√(1/f(x))dx]^2= [∫(a->b) dx]^2=(b-a)^2
6樓:匿名使用者
這個用柯西——許瓦茲不等式
7樓:pasirris黑沙
老題目了,看看這個
高等數學二重積分證明題
8樓:匿名使用者
把區域d分為兩個區域d1、d2,區域d1中f(x)≥f(y),區域d2中f(x)≤f(y),顯然,
∫∫dσ=∫∫dσ=(1/2)∫∫dσ,且對於
專任意一點(x1,y1)∈d1,必屬有對應(y1,x1)∈d2與之相對應。則:∫∫e^[f(x)-f(y)]dσ=∫∫e^[f(y)-f(x)]dσ
∫∫e^[f(x)-f(y)]dσ
=∫∫e^f(x)/e^f(y)]dσ
=∫∫e^f(x)/e^f(y)]dσ+∫∫e^f(x)/e^f(y)]dσ
=∫∫e^f(x)/e^f(y)]+e^f(y)/e^f(x)]dσ
=∫∫[e^(2f(x))+e^(2f(y))]/[e^f(x)e^f(y)]dσ
≥∫∫2[e^f(x)e^f(y)]/[e^f(x)e^f(y)]dσ
=2∫∫dσ
=∫∫dσ
=(b-a)2
高數二重積分利用性質證明題
9樓:匿名使用者
二重積分中dσ就是平面座標中的面積(在x-y座標中,dx,dy互相垂直,直接dxdy就是微分面積),然後用極座標表示就是ρdρdθ,其實理解的就是用極座標如何求微分面積的
首先,一般我們高中學習的極座標求面積公式是s=1/2·l·r=1/2·r2·α=1/2·ρ2·θ,
微分的時候dσ=ρdρdθ,就是一樓的那個圖,ρdθ是微分的弧(兩個弧是近似一樣的),dρ就微分矩形的高.大概就是這麼理解,理解了書上的知識相對就好理解一些了。
二重積分證明題,二重積分證明題
這個不等式的證明 要用到柯西 許瓦茨不等式 過程如下圖 二重積分 證明題 先交換積分次序 再對x的定積分湊arcsin的微分 計算出二重積分的值 得到等式成立 過程如下圖 二重積分證明題 4 先交換積分次序 再利用變上限積分求導湊微分 解出二重積分,得到等式成立 詳解如下 1 由於x 2 y 2對於...
高等數學二重積分證明題,高等數學二重積分證明題
把區域d分為兩個區域d1 d2,區域d1中f x f y 區域d2中f x f y 顯然,d d 1 2 d 且對於 專任意一點 x1,y1 d1,必屬有對應 y1,x1 d2與之相對應。則 e f x f y d e f y f x d e f x f y d e f x e f y d e f ...
利用二重積分的幾何意義證明,利用二重積分幾何意義計算
極座標下的來 面積元源ds rdrda 所圍成圖形的面積 s ds 積分區域為d 由射線a a a b a 代表角度 與曲線r r a a a b 所圍成區域 s ds rdrda r 2 2da a的上下限為b,a 就是你要的結果了 利用二重積分幾何意義計算 由二重積分的幾何意義知,此二重積分表示...