1樓:匿名使用者
如圖,有不清楚請追問。滿意的話,請及**價。謝謝!
(∫f(x)dx)^2(x下限為a,上限為b)<=(b-a)∫f(x)^2dx 用二重積分證明
2樓:數神
證明:[
∫(a,b)f(x)dx]2
=∫(a,b)f(x)dx∫(a,b)f(y)dy=∫(a,b)∫(a,b)f(x)f(y)dxdy≦∫(a,b)∫(a,b)1/2[f2(x)+f2(y)]dxdy=1/2[∫(a,b)∫(a,b)f2(x)dxdy+∫(a,b)∫(a,b)f2(y)dxdy]
=(b-a)∫(a,b)f2(x)dx.證畢!
已知f(x)在閉區間[a,b]內嚴格單增,而且是下凸函式,證明:∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]
3樓:匿名使用者
幾何意義上說bai,曲線duf(x)與直線x=a,x=b,x軸圍成的曲邊梯形的面zhi積dao,要小於頂專
點為(a,0),(b,0),(a,f(a)),(b,f(b))的直角梯形的面積.這個自己結合影象屬就能很清楚看出來我就不多說了.
嚴格證明的話也很簡單.由下凸函式的定義,在區間[a,b]上,對於任意λ∈(0,1),都有f[λa+(1-λ)b]≤λf(a)+(1-λ)f(b)
令x=λa+(1-λ)b,那麼x∈(a,b).設點a(a,f(a)),b(b,f(b)),則直線ab方程為
y-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)(我設這條直線為g(x)=mx+n)
將x=λa+(1-λ)b代入ab方程,化簡得y=λf(a)+(1-λ)f(b)
也就是說在[a,b]上恒有f(x)≤g(x)
根據定積分的性質,∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx
∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b](mx+n)dx
=1/m*1/2*(mx+n)2|[a,b]
=1/2*(b-a)*[f(a)+f(b)]
原不等式成立
[∫b a f(x)dx]^2 ≤ (b-a)∫b a f^2 (x)dx 5
4樓:匿名使用者
^不妨設f(x)>0,(若f(x)<0,則設g(x)=-f(x),然後證法一樣)
左邊=(∫[a→b] f(x) dx)^2=∫[a→b] f(x) dx∫[a→b] f(x) dx由於定積分可隨便換積分變數
=∫[a→b] f(x) dx∫[a→b] f(y) dy=∫∫ f(x)f(y)dxdy (其中積分區域為正方形區域:a≤x≤b,a≤y≤b)
下面用平均值不等式
≤(1/2)∫∫ (f2(x)+f2(y))dxdy根據輪換對稱性,有∫∫ f2(x)dxdy=∫∫ f2(y)dxdy=∫∫ f2(x)dxdy
=∫[a→b]dy∫[a→b] f2(x)dx=(b-a)∫[a→b] f2(x)dx=右邊
5樓:匿名使用者
本題有兩種證法,
1、利用定積分
2、利用二次函式判別式
f(x)在[a,b]連續且f(x)>0,證明∫f(x)dx·∫1/f(x)dx≥(b-a)2。
6樓:匿名使用者
本題要求f(x)在(a,b)上恆正(或恆負)左邊=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx積分變數可隨便換字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy這樣變成乙個二重積分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中:積分區域是a≤x≤b,a≤y≤b,這個區域具有輪換對稱性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 這裡用了個平均值不等式=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)2=右邊
證明:(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)
7樓:匿名使用者
^不妨設源a=0,將定積分恢復為原始定義的形式[σf(iδ
x)g(iδx)δx]^2<=σf(iδx)^2δx*σg(iδx)^2δx
即[σf(iδx)g(iδx)]^2<=σf(iδx)^2*σg(iδx)^2
這是柯西不等式
8樓:匿名使用者
這個不等式的證明方法有很多,比如用二重積分;下面介紹一種利用一元二次方程判別式的方法:
二重積分證明題,二重積分證明題
這個不等式的證明 要用到柯西 許瓦茨不等式 過程如下圖 二重積分 證明題 先交換積分次序 再對x的定積分湊arcsin的微分 計算出二重積分的值 得到等式成立 過程如下圖 二重積分證明題 4 先交換積分次序 再利用變上限積分求導湊微分 解出二重積分,得到等式成立 詳解如下 1 由於x 2 y 2對於...
二重積分的證明題,二重積分證明題
證明 令 復 x,y c a,b 且制x y,則 x y bai0 f x 是單調遞增du函式 f x f y 0 x y f x f y 0 zhi x y f x f y d 0,其中dao 因此 x y f x f y d a,b xf x dx a,b dy a,b xdx a,b f y ...
利用二重積分的幾何意義證明,利用二重積分幾何意義計算
極座標下的來 面積元源ds rdrda 所圍成圖形的面積 s ds 積分區域為d 由射線a a a b a 代表角度 與曲線r r a a a b 所圍成區域 s ds rdrda r 2 2da a的上下限為b,a 就是你要的結果了 利用二重積分幾何意義計算 由二重積分的幾何意義知,此二重積分表示...