1樓：無情小暴
(a-1/2)x^2+lnx <(x+1)lnx移項得(a-1/2)x^2-xlnx<0
x[(a-1/2)x-lnx]<0
x∈[1,3],所以x>0
(a-1/2)x-lnx<0
解得a 因為只需存在x∈[1,3],使不等式成立，所以只需求得lnx/x+1/2在[1,3]上的最大值即可。 對lnx/x求導得，（1-lnx）/x^2,令其等0得x=e。在[1,e]上，導數大於0，在[e,3]上，導數小於0.所以lnx/x在[1,3]上先增後減，那麼最大值e點的值即可。 lne/e=1/e 所以a<1/e+1/2 2樓：卓高旻 首先我覺得這道題應該證：f(x)≤(x+1)lnxf(x)≤(x+1)lnx，即(a-1/2)x^2+lnx ≤(x+1)lnx成立 ∴（a-1/2)x^2≤xlnx≤xlnx 設m(x)=（a-1/2)x^2；n(x)=xlnxn(x)的導數=lnx+1在x∈[1,3]上＞0恆成立，所以單調遞增所以n(x）≥n(1)=0 若（a-1/2)x^2≤xlnx，即（a-1/2)x^2≤0，∴a≤1/2 3樓：匿名使用者 注意恆成立問題和存在性問題的區別，高考熱點。 已知函式f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈r). 1)當a=1時，求f（x)在區間[1，e]上的最大值和最小值。 2）在區間[1， 4樓：仁新 (1)首先對f(x)求導 f'(x)=x+1/x, 令f'(x)=x+1/x=0，f'(x)恆大於0，說明它是遞增函式， 所以在兩個端點取最大跟最小，最小為f(1)=1/2 ,最大為f(e)=1/2e^2+1 (2)在區間(1,+∞)上,函式f(x)的影象恆在直線y=2ax的下方 也就是說f(x)<2ax對於一切x∈(1,+∞)恆成立 即(a-0.5)x^2+lnx<2ax 對於一切x∈(1,+∞)恆成立 (2x-x^2)a>lnx-0.5x^2 1.10 a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2) 令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2) 求導得: g'(x)=-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2] =[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2 令g'(x)=0,則有: 2-x^2-x+2(x-1)lnx=0 2(x-1)lnx-(x^2+x-2)=0 2(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0 (x-1)(2lnx-x-2)=0 x=1為其駐點, 2lnx-x-2=0時lnx=0.5x+1 用作圖法求出: 兩者無交點，故原函式只有乙個駐點x=1 此時為(1,2)上的極大值點: 故a≥g(1)=-0.5 2.當a=2時2x-x^2=0 lnx-0.5x^2<0 採用作圖法: 顯然成立,故a=2時可行 3.當a>2時2x-x^2<0 a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2) g'(x)<0,g(x)單調減,故 a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2) =lim(x→+∞) =lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)] =lim(x→+∞)-+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)] =0+0.5=0.5 故a≤0.5 綜上所述,a∈[-0.5,0.5]∪ 5樓：玲瓏靈劍 解（ⅰ）當a=1時，f(x)= 12x2+lnx，f′(x)=x+ 1x=x2+1 x．對於x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區間[1，e]上為增函式． ∴fmax(x)=f(e)=1+ e22，fmin(x)=f( 1 )= 12（ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a- 12)x2-2ax+lnx，則g（x）的定義域為（0，+∞）． 在區間（1，+∞）上，函式f（x）的圖象恆在直線y=2ax下方等價於g（x）＜0在區間（1，+∞）上恆成立． ∵g′(x)=(2a-1)x-2a+ 1x=(2a-1)x2-2ax+1 x=(x-1)[(2a-1)x-1] x．①若a＞ 12，令g'（x）=0，得極值點x1=1，x2= 12a-1 ．當x2＞x1=1，即 12＜a＜1時，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0． 此時g（x）在區間（x2，+∞）上是增函式，並且在該區間上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合題意； 當x2＜x1=1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區間（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合題意； ②若a≤ 12，則有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有g'（x）＜0． 從而g（x）在區間（1，+∞）上是減函式 要使g（x）＜0在此區間上恆成立，只須滿足g(1)=-a- 12≤0⇒a≥- 12．由此求得a的範圍是[- 12，12]．綜合①②可知，當a∈[- 12，12 ]時，函式f（x）的圖象恆在直線y=2ax下方． 已知函式f(x)=（a-1/2）x^2+lnx（a∈r)，求f(x)的極值 6樓：書畫千秋 回答錯了，f'(x) :(2a-1)x^2+1再除以x 【x為(0 ，正無窮】這裡2a-1有範圍。 1 2a-1>0,即a>二分之一，f'(x)恆大於0，f（x）在（0，正無窮）上為增，無極值 2 2a-1<0，a《二分之一，解得x為正負根號【1—2a】分之1又因為x大於0，所以f(x）有極小值為 f(根號1-2a分之1）為ln根號(1-2a分之1）-2 7樓：匿名使用者 首先求函式的導函式，令導函式等於0，求出x等於正負的(1-2a)的二分之一次方，a小於二分之一，由圖形可以得出，當x為負數時，函式有極小值，x為正時，函式有極小值。再根據x值求出函式值即可。 我也不知道是不是很對，但我可是打字打了很長時間哦 8樓：匿名使用者 matlab命令：syms x a; limit((a-1/2)*x^2+log(x),x,inf) 結果：signum(a-1/2)*inf 已知函式f(x)=(a-1/2)x^2+inx(a∈r)(1)當a=1時，任意x0∈[1,e]使不等式f(x0)≦m,求實數m的取值範圍 9樓：匿名使用者 解:(1)當a=1時,f(x)=0.5x^2+lnx,由題意有 e68a8462616964757a686964616f31333332613738:對於一切x∈[1,e]均有f(x)=0.5x^2+lnx≤m故有: m≥(0.5x^2+lnx)max由於y=0.5x^2和y=lnx均為單調增函式,故f(x)也為單調增函式f(x)max=f(e)=0. 5e^2+1故有:m≥0.5e^2+1(2)在區間(1,+∞)上,函式f(x)的影象恆在直線y=2ax的下方也就是說f(x)<2ax對於一切x∈(1,+∞)恆成立即(a-0. 5)x^2+lnx<2ax 對於一切x∈(1,+∞)恆成立(2x-x^2)a>lnx-0.5x^21.10a>(lnx-0. 5x^2)/(2x-x^2)令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)求導得:g'(x)=-[2(x-1)(lnx-0. 5x^2)/(x^2-2x)^2]=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2令g'(x)=0,則有:2-x^2-x+2(x-1)lnx=02(x-1)lnx-(x^2+x-2)=02(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0(x-1)(2lnx-x-2)=0x=1為其駐點,2lnx-x-2=0時lnx=0.5x+1用作圖法求出: 兩者無交點，故原函式只有乙個駐點x=1此時為(1,2)上的極大值點:故a≥g(1)=-0.52. 當a=2時2x-x^2=0lnx-0.5x^2<0採用作圖法:顯然成立,故a=2時可行3. 當a>2時2x-x^2<0a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)g'(x)<0,g(x)單調減,故a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)=lim(x→+∞)=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0. 5x/(x-2)]=lim(x→+∞)-+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]=0+0.5=0. 5故a≤0.5綜上所述,a∈[-0.5,0.5]∪ ms夢翼芸澈 1 f x a 1 lnx ax 2 1得到定義域 x 0 求導 f x a 1 x 2ax當a 0時，f x 0,則f x 單調遞增當a 1時，f x 0，則f x 單調遞減當 10 g x 和f x 同號。此時當x a 1 2a 時，g x 0，則f x 0，那麼f x 單調遞增 ... 1 當a 0,b 0時,du 任意x1,x2 zhir,且x1 x b x x x x a 0,b 0,屬a x x 0,b x x 0,f x1 f x2 0,即f x1 當a 0,b 0時,同理,可判斷函式f x 在r上是減函式 2 當a 3b時,f x 3b?2x b?3x b 3x 3?2x... 前面的a 是常數，放在一旁！那現在討論f x loga x 1 在 0，1 的單調性就行了！因為f x loga x 1 在 0，1 上單調！所以f 0 f 1 即為函式的最大值和最小值 無順序 f 0 f 1 a解出a的值必須滿足a 0且不等於1。a 2 loga2 a 2 a 哎呀，這個方程我不...問題 高中數學問題 已知函式f xa 1 lnx ax 2 1描述 1 討論f x 的單調性
已知函式fxa2xb3x,其中常數a,b滿足a
已知函式f x a 2 loga x 1 在區間