1樓：電燈劍客
顯然是錯的
合理的問題是「若n階矩陣a有n個互不相同的特徵值, 則ab=ba的充要條件是a的特徵向量也是b的特徵向量」
2樓：練覓丹狂浩
a有n個互不相同的特徵值，則a有n個線性無關的特徵向量，它們也是b的特徵向量，所以a與b都相似於對角陣。記這n個特徵向量拼成的矩陣為p，則有(p^-1)ap=c，(p^-1)bp=d，其中的c與d是對角陣。由於cd=dc，所以有ab=(p^-1)cp(p^-1)dp=(p^-1)cdp=(p^-1)dcp=(p^-1)dp(p^-1)cp=ba。
設a,b是n階實矩陣,a的特徵值互逆,證明矩陣ab=ba的充要條件為a的特徵值都是b的特徵值
3樓：聶藝越夫
只需證明：若λ是ab的特徵值,則λ也是ba的特徵值.分兩種情況：
(1)λ≠0.由λ是ab的特徵值,存在非零向量x使得abx=λx.所以ba(bx)=b(abx)=b(λx)=λbx,且bx≠0（否則λx=abx=0,得λ=0,矛盾）.
這說明bx是ba的對應於特徵值λ的特徵向量,特別地λ也是ba的特徵值.
(2)λ=0.此時存在非零向量x使得abx=λx=0,所以ab不滿秩,知det(ab)=0.從而det(ba)=det(ab)=0,ba不滿秩,所以存在非零向量x使得bax=0=λx.
這說明λ=0也是ba的特徵值.證畢.
已知n階矩陣a有n個不同的特徵值且n階矩陣ab=ba，證明b可對角化
4樓：電燈劍客
取p使得p^ap=d為對角陣，記x=p^bp
那麼ab=ba等價於dx=xd，然後比較元素得x是對角陣
設a,b均為n階矩陣，且ab=ba,證明： 1）如果a有n個不同的特徵值，則b相似於對角矩陣；
5樓：電燈劍客
(1) ab=ba等價於(p^ap)(p^bp)=(p^bp)(p^ap)
把p^ap取成對角陣即可，接下去自己動手算
(2) 方法同上，取p1使得p1^ap1是對角陣，並且額外地把p1^ap1按特徵值排列成diag，然後用分塊乘法驗證p1^bp1也是分塊對角陣，再把每塊都對角化即可
6樓：匿名使用者
第二問，s^-1as=c=diag(a1*i1,a2*i2,...,ar*ir)
分為r塊，每塊特徵值相同,ii都是單位陣
scs^-1b=ab=ba=bscs^-1,左乘s^-1，右乘s，得cs^-1bs=s^-1bsc，記g=s^-1bs，那麼cg=gc因為c是對角陣，而g與c可交換，易知
g=diag(g1,g2,...,gr)是塊對角陣，gi與ii同階再將gi進行對角化，即存在可逆陣ti，
使得ti^-1*gi*ti=di是對角陣
記t=diag(t1,t2,...,tr)是塊對角可逆陣於是t^-1gt=diag(d1,d2,...,dr)=d是對角陣即t^-1s^-1bst=d
而t^-1s^-1ast=t^-1ct
因為c是對角陣，t是與c形狀相同的塊對角陣，因此ct=tc於是t^-1s^-1ast=t^-1ct=t^-1tc=c記p=st是可逆陣
便有p^-1ap=c，p^-1bp=d 同時化為了對角陣
證明ab=ba的充分必要條件是a的特徵向量都是b的特徵向量
7樓：顧小蝦水瓶
首先，ab=ba說明a和b都是方陣。
設mu是b的某個特徵值，x是mu對應的特徵子空間.對x中的任何向量x，必有
bax=abx=mu ax
也就是說ax屬於x，於是x是a的乙個不變子空間，裡面必含有a的特徵向量。
矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是乙個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。
ab=ba。a,b是n階方陣。a有n個互異的特徵值。證明：b相似於對角陣
8樓：游曜武覓雲
由a有n個不同的特徵值,每個特徵值對應的特徵空間維數為1,且所有特徵向量線性無關.設a為a的特徵值,x為對應的非零特徵向量,則abx=bax=b(ax)=b(ax)=a(bx),這說明bx也是a的對應於特徵值a的特徵向量,bx和x同在a對應的特徵空間（維數為1）中,x非零,從而存在b使得bx=bx.這說明a的特徵向量都是b的特徵向量,b也有n個線性無關的特徵向量,必相似於對角陣
高等代數證明：a、b皆為n階方陣,如果ab=ba,且a有n個不同的特徵值,證明b...
9樓：憑衍益三
由a有n個不同的特徵值,每個特徵值對應的特徵空間維數為1,且所有特徵向量線性無關.設a為a的特徵值,x為對應的非零特徵向量,則abx=bax=b(ax)=b(ax)=a(bx),這說明bx也是a的對應於特徵值a的特徵向量,bx和x同在a對應的特徵空間（維數為1）中,x非零,從而存在b使得bx=bx.這說明a的特徵向量都是b的特徵向量,b也有n個線性無關的特徵向量,必相似於對角陣
高等代數證明：a、b皆為n階方陣，如果ab=ba，且a有n個不同的特徵值，證明b相似於對角
10樓：匿名使用者
由a有n個不同的特徵值，每個特徵值對應的特徵空間維數為1，且所有特徵向量線性無關。設a為a的特徵值，x為對應的非零特徵向量，則abx=bax=b(ax)=b(ax)=a(bx)，這說明bx也是a的對應於特徵值a的特徵向量，bx和x同在a對應的特徵空間（維數為1）中，x非零，從而存在b使得bx=bx。這說明a的特徵向量都是b的特徵向量，b也有n個線性無關的特徵向量，必相似於對角陣
11樓：匿名使用者
樓上解答不完全，若bx=0呢？bx還是a的對應於特徵值a的特徵向量嗎？
證明 若a,b為n階矩陣 則aba b
這個只好用定義去證明了，思路不是很難，就是運算麻煩點。不太好打，如果你手邊能找到線性代數的書就再好不過了。簡單來說，就是構造2n階的矩陣d 這裡用分塊矩陣表示 d a 0 c b 這是一個上三角矩陣，易得 d a b a b是原來的n階陣，o代表全零的n階矩陣，c代表對角線上元素全部是 1，其他元素...
設a為n階正定矩陣,c為n階可逆矩陣,並且b ctac,證明
由a正定,a t a 所以 c tac t c ta t c t t c tac 所以 c tac 是對稱矩陣.對任意n維非零 向量x由於內c可逆 所以 cx 0 由a正定知 容 cx ta cx 0 即 x t c tac x 0 所以 c tac 正定.設矩陣a是正定矩陣，c是m n矩陣，b c...
證明如果a是n階方陣,a是a的伴隨矩陣,那麼ra
當r a n時,有a可逆,a 0,由 aa a e,說明a 可逆,r a n 當r a n 1時,有a不可逆,a 0所以 aa a e 0,所以r a n r a 1。而矩陣a的回秩為n 1,所以說在a中的n 1階子式中至少有乙個不為0,所以a 中有元素不為0,即a 0,r a 1。所以r a 1 ...