的前n項和為sn，且a1 1，sn n 2a

1樓：匿名使用者

1.s1=a1=1

s2=a1+a2=1+a2=2²×a2=4a2

3a2=1

a2=1/3 s2=1+1/3=4/3

s3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=4/3 +a3=3²×a3=9a3

8a3=4/3

a3=1/6 s3=1+1/3+1/6=3/2

s4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+a4=3/2 +a4=4²×a4=16a4

15a4=3/2

a4=1/10 s4=1+1/3+1/6+1/10=8/5

s1=1/1=2/2 s2=4/3 s3=3/2=6/4 s4=8/5

猜想：sn=2n/(n+1)

2.證：

n=1時，s1=2/2

假設當n=k(k∈n+)時，sn=2k/(k+1)，則當n=k+1時，

s(k+1)=sk+a(k+1)=2k/(k+1) +a(k+1)=(k+1)²a(k+1)

[(k+1)²-1]a(k+1)=2k/(k+1)

(k+2)ka(k+1)=2k/(k+1)

a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)]

s(k+1)=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]

=[2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]

=(2k²+4k+2)/[(k+1)(k+2)]

=2(k+1)²/[(k+1)(k+2)]

=2(k+1)/(k+2)

=2(k+1)/[(k+1)+1]，表示式同樣成立。

k為任意正整數，因此對於任意正整數n

sn=2n/(n+1)

n≥2時，sn=2n/(n+1) s(n-1)=2(n-1)/(n+1-1)=2(n-1)/n

an=sn-s(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n

=2[n/(n+1) -(n-1)/n]

=2[n²-(n-1)(n+1)]/[n(n+1)]

=2(n²-n²+1)/[n(n+1)]

=2/[n(n+1)]

=2/n -2/(n+1)

n=1時，a1=2/1-2/2=2-1=1，同樣滿足通項公式。

綜上，得數列的通項公式為an=2/n -2/(n+1)。

2樓：匿名使用者

解:(1)s1=a1=1; s2=a1+a2=2^2×a2=4a2; a2=(1/3)a1=1/3;s2=a1+a2=4/3 s3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3; a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6; s3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2; s4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4; a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10; s4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;綜上所述,s1=1=2/2,s2=4/3;s3=3/2=6/4;s4=8/5;故猜想sn=2n/(n+1)(n∈n*)(2)證明如下:s(n)-s(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈n*)等式兩邊約去(n-1)得:

(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);採用疊乘法求通項公式:[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.......×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×......

×(2/4)×(1/3)=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]=2/[n(n+1)](n≥2且n∈n*)(約去交錯項)驗證a1=1,合乎通項公式故有an=2/[n(n+1)](n∈n*)sn=2=2[1-1/(n+1)](約去交錯項)=2n/(n+1)(n∈n*)由此得證

已知數列{an}的前n項和為sn,a1=1/2，且sn=n^2an-n(n-1),求an

3樓：匿名使用者

n≥2時，

sn=n²an-n(n-1)

sn-1=(n-1)²a(n-1)-(n-1)(n-2)an=sn-sn-1=n²an-n(n-1)-(n-1)²a(n-1)+(n-1)(n-2)

an=n²an-(n-1)²a(n-1)-2n+2(n+1)(n-1)an-(n-1)²a(n-1)-2(n-1)=0(n+1)an-(n-1)a(n-1)=2an/(n-1)-a(n-1)/(n+1)=2/[(n+1)(n-1)]=1/(n-1)-1/(n+1)

(an-1)/(n-1)=[a(n-1)-1]/(n+1)(an-1)/[a(n-1)-1]=(n-1)/(n+1)[a(n-1)-1]/[a(n-2)-1]=(n-2)/n…………

(a2-1)/(a1-1)=1/3

連乘(an-1)/(a1-1)=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n-1)×n×(n+1)]=(1×2)/[n(n+1)]

an-1=2(1/2-1)/[n(n+1)]=-1/[n(n+1)]an=1-1/[n(n+1)]=(n²+n-1)/[n(n+1)]n=1時，a1=(1+1-1)/(1×2)=1/2，同樣滿足。

數列的通項公式為an=(n²+n-1)/[n(n+1)]

4樓：

因為sn=n^2an-n(n-1)

所以sn-s(n-1)=an

即an=n^2an-n(n-1)-[(n-1)^2a(n-1)^-(n-1)（n-2)]

整理得 (n+1)an-(n-1)a(n-1)=2an=2/(n+1)+a(n-1)

a1=1/2

a2=5/6

a3=11/12

1/2=1/(1*2) 5/6=5/(2*3) 11/12=11/(3*4)

所以 an=[n(n+1)-1]/n(n+1)

已知正項數列{an}的前n項和為sn,且a1=1, a²n+1=sn+1+sn 求｛an｝的通項公式

5樓：匿名使用者

解：(1)

a2²=s2+s1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2

a2²-a2-2=0

(a2+1)(a2-2)=0

a2=-1(捨去)或a2=2

a(n+1)²=s(n+1)+sn

a(n+2)²=s(n+2)+s(n+1)

a(n+2)²-a(n+1)²=s(n+2)-sn=a(n+2)+a(n+1)

[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0

[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0

數列是正項數列，a(n+2)+a(n+1)恆》0，因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0

a(n+2)-a(n+1)=1，為定值，又a2-a1=2-1=1，數列是以1為首項，1為公差的等差數列。

an=1+1×(n-1)=n

n=1時，a1=1，同樣滿足表示式

數列的通項公式為an=n

(2)bn=a(2n-1)·2^(an)=(2n-1)·2ⁿ

tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ

2tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹

tn-2tn=-tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ⁺¹

=2·(2+2²+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2

=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2

=(3-2n)·2ⁿ⁺¹+6

tn=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6

已知數列{an}滿足,sn=2an+（-1）^n,求{an}的通項公式

6樓：西域牛仔王

^當 n=1 時，a1=s1=2a1-1 ，解得 a1=1 ，

當 n>=2 時，an=sn-s(n-1)=2an+(-1)^n-2a(n-1)-(-1)^(n-1) ，因此 an=2a(n-1)-2(-1)^n ，

兩端同乘以 (-1)^n 得 an*(-1)^n=2a(n-1)*(-1)^n-2 ，

令 bn=an*(-1)^n ，則 bn= -2b(n-1)-2 ，

兩邊同時加上回 2/3 得 bn+2/3= -2b(n-1)-4/3= -2[b(n-1)+2/3] ，

所以 bn+2/3 是首項為 b1+2/3= -1+2/3= -1/3 ，公答比為 -2 的等比數列，

因此 bn+2/3=(-1/3)*(-2)^(n-1) ，

由此得 an=(-1)^n*[(-1/3)*(-2)^(n-1)-2/3]=1/6*2^n-2/3*(-1)^n (n>=2) ，

結合 n=1 時 a1=1 可得通項為 an=1/6*2^n-2/3*(-1)^n 。

7樓：老伍

這種解法較難：注意當n≥2時，才有an=sn-s(n-1)所以求出an後，要驗證n=1時的情形。

8樓：匿名使用者

an=sn-sn-1,把數字帶入即可

已知正項數列{an}的前n項和為sn，且a1＝2，4sn＝an?an+1，n∈n*．（ⅰ）求數列{an}的通項公式；（ⅱ）設

9樓：神降

（ⅰ）解：∵4sn＝a

n?an+1，

n∈n*

①，∴4a1=a1?a2，